Körner Lineare Gleichungssysteme

Kondition = Maß für die numerische Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystem

Lineares Gleichungssystem $Ax = b$
$A$ ... Koeffizientenmatrix, $b$ ... Inhomogenität, $x$ ... Lösungsvektor
$A | b$ ... Erweiterte Koeffizientenmatrix $\Rightarrow$ daran Lösbarkeit überprüfen.
Kern $\mathbf A = \{x\in \mathbb R {#n} ; \mathbf{Ax}=0\}$ , Kern ist ein Unterraum $Ax = 0$ ... homogenes Gleichungssystem
$x = 0$ ... triviale Lösung
$Ax = b$ inhomogenes Gleichungssystem (analog zur partikulären Lösung) ist im Allgemeinem nicht eindeutig.
$X = {x \in R^{n} : A x = b}$ ... Lösungsraum des inhomogenen Gleichungssystems
Allgemeine Lösung = Lösung des Homogenen Gleichugnssystem + spezielle partikuläre Lösung : $x_{a} = \overset{―}{x} + \tilde{x}$ wegen $A {\tilde{x}}_{1} = A {\tilde{x}}_{2} = b \Rightarrow A ({\tilde{x}}_{1} + {\tilde{x}}_{2}) = A \overset{―}{x} = 0 \Rightarrow {\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{2}$ können sich im Kern $\overset{―}{x}$ unterscheiden!

Bedingung für Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Rang A = Rang(A|b) Satz von Kronecker und Kapelli.
Inverse-Verbot in Numerik: Reguläre Matrizen können schlechte Kondition aufweisen (laut Körner!!!, Invertieren ist kein stabiler Algorithmus!) $\to$ Analog Verbot für Determinanten (nach Regel von Gramer)

Elementare numerische Lösungsverfahren:

Dreiecksmatrizen $L = (\begin{array}{ccccc} ℓ_{11} & 0 & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ ℓ_{21} & ℓ_{22} & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ ℓ_{n n} & ℓ_{n n} & ⋱ & ⋱ & ℓ_{n n} \end{array})$ , $U = (\begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot & u_{1 n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & \cdot \cdot & u_{2 n} \\ ⋮ & 0 & \cdot \cdot & \cdot \cdot & \cdot \cdot \\ 0 & ⋮ & \cdot \cdot & \cdot \cdot & \cdot \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot & 0 & u_{n n} \end{array})$ , $A x = b$ mit $A \in R^{n \times n}$
z.B.: $Lx=b \rightarrow \ell_{11}x_1=b_1\Rightarrow x_1\dfrac{b_1}{\ell_{11}, \quad \ell_{12}x_1+\ell_{22}x_2=b_2\Rightarrow x_2 = \dfrac{b_2}{\ell_{22}}-\dfrac{\ell_{12}}{\ell_{22}}x_1=\dfrac{b_2}{\ell_{22}}-\dfrac{\ell_{12}b_1}{\ell_{22}\ell{11}}$