PID feedback control

Hier geht es um de PID-Feedback control design.

Heißt das hoher Gain bei niedrigen Frequenzen und niedriger Gain bei hohen Frequenzen. Robustheit beim Amplitudennullübergang (Cross-Over Frequenz), damit bei geschlossener Feedback Loop gutes kontrolliertes Verhalten gewährleistet werden kann.

Stabilität

Ein closed Loop System ist stabil wenn es keine Pole in der rechten reellen Hälfte besitzt. Das geschlossene System darf nicht zum oszillieren anfangen. Mathematisch gesehen heißt das, dass die Übertragungsfunktion des geschlossenen Systems $F (s) = \frac{G (s)}{1 + G (s)}$ nicht gegen $\infty$ streben darf, also durch 0 dividiert werden darf. Bei $F (s)$ müsste hierfür $G (s) = - 1$ werden. Und $- 1$ als Amplitude/Phase dargestellt ist $| G (s) | = 1 = 0 dB$ und $a r g (G (s)) = - 180 °$ , acos(-180)=-1$ WAS SOLL DAS ?

Robustheit und Stabilität des offenen Kreises

Die Stabilität und Robustheit des offenen Kreises sind wichtig um ein gutes kontrollierbares Verhalten im geschlossenen Kreis zu erhalten. Diese beschreibt wie viel unvorhergesehene Störungen auf ein System wirken können bevor es instabil wird.

Phasenrand - Phase Margin

Dieser beschreibt den Abstand der Phase von -180° an dem Punkt an dem die Amplitude $0 dB$ erreicht.

Amplitudenreserve - Gain Margin

Dieser beschreibt den Abstand der Amplitude von $0 d B$ an dem Punkt an dem die Phase ca. $- 180 °$ erreicht.

Welche Regler gibt es?

P-Regler
PD-Regler
PID-Regler

P-Regler

Der P-Regler verschiebt die Amplitude um eine gewünschte Cross-over Frequenz zu erhalten. Die Phase bleibt bei -180°. Der Open Loop sieht dann so aus: $L (s) = K_{p} \frac{1}{m s^{2}}$ und der Closed Loop: $T_{p} (s) = \frac{\frac{K_{P}}{m}}{s^{2} + \frac{K_{p}}{m}} = \frac{ω_{0}^{2}}{s^{2} + ω_{0}^{2}}$ Außerdem kommt es beim closed loop bei der Cross-over Frequenz zu einer Resonanz.

PD-Regler

Der Proportionalanteil reagiert direkt auf den Fehler, währen der Differenzierer auf die Änderung des Fehlers reagiert und somit die Dynamik des Systems verbessert, indem er schnelle Änderungen im Fehler erkennt und darauf reagiert. Um den Differenzierer realisierbar zu machen wird ein PT1-Glied hinzugefügt um den $\infty$ -hohen Verstärkung bei hohen Frequenzen zu begrenzen.

L (s) = \frac{K_{p} + K_{d} s}{m s^{2}} \cdot \frac{1}{s + α \frac{k_{p}}{k_{d}}}

T_{p} (s) = \frac{K_{p} + K_{d} s}{m s^{2} + K_{p} + K_{d} s} = \frac{ω_{0}^{2} (1 + \frac{s}{ω_{d}})}{s^{2} + \frac{ω_{0}^{2}}{ω_{d}} s + ω_{0}^{2}}

PID-Regler

$K_{d}$ entspricht dem Dämpfer
$K_{p}$ entspricht der Feder
$K_{i}$ entspricht keinem direktem Element kann aber als eine Art akkumulierte Korrekturkraft betrachtet werden.

Formel im s-Bereich ist: $u (s) = K_{p} + K_{i} \frac{1}{s} + K_{d} s$ im Zeit-Bereich: $u (t) = P + I + D = K_{i} \int_{0}^{t} e (τ) d τ + K_{d} \frac{d e (t)}{d t}$
Closed Loop: Feedback erlaubt es Pole neu zu platzieren:

für besseres Verhalten
System stabil machen

Loop-Shaping (Design)

Die Antwort des offenen Systems wird so angepasst dass das geschlossene System das gewünschte Verhalten zeigt:

Hohe Verstärkung bei niedrigen Frequenzen
Niedrige Verstärkung bei hohen Frequenzen
entsprechend hoher Phasenrand(Phase Margin) und Amplitudenreserve (Gain Margin)
mehr als -180° Phase-Lag bei Cross-Over Region

Rauschunterdrückung

Die Übertragungsfunktion des Rauschens in $d$ wird komplementär zum Signal unterdrückt.

S... Sensitivity function ... Wie gut werden Störungen unterdrückt
T... Complementary sensitivity function ... wie gut folgt man der Referenzsignal

S + T = 1

Diese beiden Funktionen können nicht unabhängig voneinander getuned werden.
z.B. wird $T$ größer, kann man bis in höhere Bereiche (>Frequenz) regeln, dafür wird Rauschen weniger lang unterdrückt.

Regler Design für CD-Player

Anforderungen:

Positionierung mit Nanometer Auflösung mit dem Fokus Aktor
Positionierer wird von Drähten gehalten und mittels Lorentz Aktuator bewegt
Ein Spannungsverstärker treibt den Aktor an
Ein Laser Interferometer misst die Position des Positionierers
Vibrationen des Bodens sind Hauptstörungen
Störungsspektrum wird mittels FFT berechnet

Modellierung:

Das Antriebssystem kann als gedämpftes Feder Masse System betrachtet werden und die Spuleninduktion kann vernachlässigt werden. Die Vibrationen wirken auf das System selber und treten demnach zwischen Regler und Systemblock auf.

Man kann sich jetzt die Frage stellen: Wie groß muss die Bandbreite sein, damit Störungen unterdrückt werden?

Betrachtet man nun das Bode-Diagramm eines Lorentz-Aktuator erkennt man die Erste Resonanz bei 40Hz und dank der Phase die zweite bei 7kHz. Ab ca. 100Hz ist die Masse Linie dominant. Bis ca 1kHz stimmt das Model mit den Messdaten überein. Man erkennt auch das die Störungen in einem Bereich von 10-100Hz liegt. Warum jetzt die Bandbreite von 1kHz vorhanden sein sollte versteh ich aber jetzt nicht.

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Tamed PID Regler

Der Regler muss die Phase bei der gewählten Cross Over Frequenz anheben und bei niedrigen Frequenzen eine hohe Verstärkung liefern. Für die Implementierung wünscht man sich eine niedrige Ordnung.

C (s) = g_{c} (1 + \frac{ω_{z}}{s}) (\frac{α_{s} + ω_{c}}{s + ω_{c} α}) = \frac{1}{s + ω_{c} α} (K_{d} s + K_{p} + \frac{K_{i}}{s})

dabei ist $ω_{c}$ die Cross Over Frequenz, $ω_{z}$ als Corner Frequenz vom PI Anteil und $α$ als Tuning Parameter. Der Vorfaktor beim Ergebnis ist ein Realisierungspol. Er wird außerdem dafür genutzt um den Differenzierer für hohe Frequenzen zu stoppen.

Außerdem gibt es die sogenannte Rule of Thumb (Daumenregel): Der I-Anteil endet bei ca. $0.1 ω_{c}$ , der P-Anteil endet bei ca. $0.33 ω_{c}$ und der D-Anteil endet bei ca. $3.3 ω_{c}$ .

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Für das Bild wurde ein $α = 3$ und $ω_{z} = 0.1 ω_{c}$ gewählt.

In der Vorlesung wurde auch eine Case study durchgeführt, dabei sollte man die Robustness rauslesen.
Die Phase Margin ist kann man bei der Cross Over Frequenz ablesen, also die Phase bei der 0 dB Linie.
Wie kann man die Gain margin ablesen? Wenn ich das Richtig verstanden hab wenn die wir unter -180° sind bei der 0dB linie. Sicher bin ich mir aber nicht.

Wie kann man die Closed Loop checken?
Indem man die Sensitivitätsfunktion überprüft ob dort Störungen auftreten. Die Sensitivitätsfunktion lautet: $\frac{1}{1 + G C}$

Mittels Notch Filter kann man Frequenzen rausfiltern.

Phase Budget

Prinzipien

Aktuator, Mechanische Struktur und Verstärker spielen zusammen
Mindestens ein Tiefpass im System (z.B. Verstärker)
Resonanzen verursachen immer einen Phasenverschub von 90°
Es muss zwischen Federungs-Moden und Strukurelle-Moden unterschieden werden
Sensor hat Tiefpassverhalten und Aliasing (Tiefpass für Frequenzen größer als Abtastfrequenz)
Regler benötigt Integrator-Verhalten (im System oder Regler)
Integrator muss 0dB Linie kreuzen und verursacht 90° Phasenverschub
Digitale Regler Sampling Rate $f_{s} = \frac{1}{T}$ muss 5-15 mal höher sein als die Bandbreite
Niedriges Sampling mehr Delay und starkes Aliasing
Für große Bandbreite muss der Phasenverschub minimal sein. Schnelle Sensoren und Abtastzeiten sind einfacher und billiger als schnellere Mechanik