Dynamisches modellieren von gedämpften Felder Masse Systemen

Nachgiebigkeits Berechnung

Geg:

m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = F (t)

Diese Gleichung kann man Laplace transformieren:

m s^{2} X + c s X + k X = F (s)

Nun kann man die Nachgiebigkeit nach der Definition berechnen:

C_{t} = \frac{X (s)}{F (s)} = \frac{1}{m s^{2} + c s + k} = \frac{\frac{1}{k}}{\frac{m}{k} s^{2} + \frac{c}{k} s + 1}

Nun kann man $C_{s} = \frac{1}{k}$ , $ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ und $ζ = \frac{c}{2 \sqrt{k m}}$ substituieren und erhält:

C_{t} = \frac{C_{s}}{\frac{s^{2}}{ω_{0}^{2}} + 2 ζ \frac{s}{ω_{0}} + 1}

Das lässt sich jetzt weiter vereinfachen:

C_{t} = \frac{C_{s}}{\frac{s^{2}}{ω_{0}^{2}} + 2 ζ \frac{s}{ω_{0}} + 1} = \frac{C_{s} ω_{0}}{s^{2} + 2 ζ ω_{0} s + ω_{0}^{2}}

Wendet man nun die kleine Lösungsformel an um die Polstelle im Nenner zu berechnen erhält man für denn Nenner (NR):

s = ω_{0} (ζ \pm \sqrt{ζ^{2} - 1})

Daraus lassen sich 4 Fälle bestimmen:

\begin{aligned} c = 0 \to ζ^{2} = 0 \\ c^{2} = 4 m k \to ζ^{2} = 1 Critically damped \\ c^{2} > 4 m k \to ζ^{2} > 1 Overdamped \\ c^{2} < 4 m k \to ζ^{2} < 1 Underdamped \end{aligned}

Pol Positionen (s-Ebene) Beispiel Grad 2

Timestamp
Die Pole können mittels TransferFunction G(s) und mit den Polen s bestimmt werden:
$G (s) = \frac{ω_{0}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{0} s + ω_{0}^{2}}$ und $\begin{matrix} s = ω_{0} (- ζ \pm \sqrt{ζ^{2} - 1}) \end{matrix}$

Man erkennt das die Pole je größer $ζ$ wird sich nach - $\infty$ und 0 bewegen. Bei $ζ = 1$ gibt es ein Doppelter Pol bei (-1,0) und je kleiner $ζ$ hat eine Doppelte imaginäre.

Wann ist es Kritisch gedämpft
Wann ist es Over damped?
Wann ist es under damped?

Resonanz, natürliche Frequenz und Q-Faktor

Ein Masse Feder System schwingt bei seiner natürlichen Frequenz.
Energie ist gefangen im System. Wird das System mit dieser Frequenz angeregt dann steigt die Amplitude ins unendliche.

In der Elektrotechnik wird der Faktor Q als Resonator definiert und in Mechanical Engineering wird die Dämpfer Rate öfters verwendet:

Q = \frac{1}{2 ζ} ζ = \frac{1}{2 Q}

\begin{aligned} c = 0 \to ζ^{2} = 0 \to Q = \infty \\ c^{2} = 4 m k \to ζ^{2} = 1 \to Q = \frac{1}{2} Critically damped \\ c^{2} > 4 m k \to ζ^{2} > 1 \to Q > \frac{1}{2} Overdamped \\ c^{2} < 4 m k \to ζ^{2} < 1 \to Q < \frac{1}{2} Underdamped \end{aligned}

in den nächsten Folien werden Graphen durchbesprochen:

Damping Ratio $ζ$ in stepresponse

Q=100 beduetet der Peak ist 100 * Federlinie

Geschwindigkeitsantwort, Energietransfer

Resonanz = Energie Speicher Dämpfer = Energieverlust

Bei der Resonanzfrequenz ist die driving force in phase mit der velocity. Das bedeutet das die driving force und die Geschwindigkeit in phase ist. und wir wissen das Power is force F times speed

So this means at the resonance frequency we get the maximum energy transfer.

Dieser Teil ist nicht ganz komplett

Nebenrechnung:

s^{2} + 2 ζ ω_{0} s + ω_{0}^{2}

s_{1, 2} = ζ ω_{0} \pm \sqrt{\frac{{(2 ζ ω_{0})}^{2}}{4} - ω_{0}^{2}}

s_{1, 2} = ζ ω_{0} \pm \sqrt{ζ^{2} ω_{0}^{2} - ω_{0}^{2}}

s_{1, 2} = ω_{0} (ζ \pm \sqrt{ζ^{2} - 1})

Laut VO sollte vor dem $ω_{0}$ noch ein Minus stehen. Ich weiß aber nicht warum!