Minimum Varianz Schätzer

Satz 2.4 (Minimum-Varianz-Schätzer)

Für das Gleichungssystem (2.33)

\begin{matrix} (2.50/2.33) & y = Sp + v \end{matrix}

mit den stochastischen Größen $p, v$ und $y$ wird angekommen, dass $E ({yy}^{T})$ invertierbar ist. Die optimale Schätzung $\hat{p}$ von $p$ , die den Erwartungswert des quadratischen Fehlers $E ({[p - \hat{p}]}^{T} [p - \hat{p}])$ minimiert, ist durch

\begin{matrix} (2.51) & \hat{p} = E ({py}^{T}) {[E ({yy}^{T})]}^{- 1} y \end{matrix}

mit der zugehörigen Fehlerkovarianzmatrix

\begin{matrix} (2.52) & \begin{aligned} cov (e) & = E ([p - \hat{p}] [p - \hat{p}]^{T}) = E (p p^{T}) - E (\hat{p} {\hat{p}}^{T}) \\ = E ({p p}^{T}) - E ({p y}^{T}) {[E (y y^{T})]}^{- 1} E (y p^{T}) \end{aligned} \end{matrix}

gegeben.

Ausgangspunkt

Das Gleichungssystem $y = Sp + v$ mit der stochastischen Störung, n-dimensionalen Zufallsvektor sowie der m-dim. Messvektor.
Folgende Beziehung gilt:

\begin{matrix} (2.34) & \begin{aligned} E (v) = 0, & cov (v) = E (v v^{T}) = Q & mit Q \geq 0 \\ E (p) = 0, & cov (p) = E ({p p}^{T}) = R & mit R \geq 0 \\ E ({p v}^{T}) = N \end{aligned} \end{matrix}

Die folgende Matrix ist regulär: $({SRS}^{T} + Q + SN + N^{T} S^{T})$

Was wird geschätzt?

Welche stochastischen Informationen hab ich und was bedeuten die?

Welches Problem wird gelöst

Optimale Lösung für p als Funktion des Erwartungswert